Можно ли представить число 99...99 (всего 9 девяток) в виде суммы двух натуральных чисел, суммы цифр которых одинаковы?
Решение.
Пусть можно представить число А = 99...99 (всего 9 девяток) в виде суммы двух чисел В и С, суммы цифр которых одинаковы. Если при сложении цифр последних разрядов В и С происходит переход единицы в предыдущий разряд, то последняя цифра суммы не превосходит 8. Но в последнем разряде А стоит девятка, поэтому перехода единицы не происходит и сумма цифр последних разрядов В и С равна 9. Аналогично рассуждая слева направо для оставшихся разрядов, видим, что в каждом разряде В и С сумма цифр равна 9 и перехода единицы не происходит. Тогда сумма цифр В плюс сумма цифр С, равная удвоенной сумме цифр В, должна равняться сумме цифр А, то есть 81 — нечётному числу. Противоречие.
Можно ли представить число 199...99 (одна единица и 10 девяток) в виде суммы двух натуральных чисел, суммы цифр которых одинаковы?
Решение.
Пусть можно представить число (всего 9 девяток) в виде суммы двух чисел В и С, суммы цифр которых одинаковы. Если при сложении цифр последних разрядов В и С происходит переход единицы в предыдущий разряд, то последняя цифра суммы не превосходит 8. Но в последнем разряде А стоит девятка, поэтому перехода единицы не происходит и сумма цифр последних разрядов В и С равна 9. Аналогично, рассуждая слева направо для оставшихся разрядов, видим, что в каждом разряде В и С сумма цифр равна 9 и перехода единицы не происходит. При этом мы считаем, что в первом разряде одного из них стоит 0. Тогда сумма цифр В плюс сумма цифр С, равная удвоенной сумме цифр В, должна равняться сумме цифр А, то есть 91 — нечётному числу. Противоречие.
Найдите наибольшее натуральное число, делящееся на 990, в записи которого каждая цифра встречается ровно по одному разу.
Решение.
Число 990 есть произведение взаимно простых чисел 2, 5, 9 и 11. Любое десятизначное число, составленное из различных цифр, взятых по разу, делится на 9, так как их сумма, равная 45, делится на 9. По признаку делимости на 10 искомое число должно оканчиваться на 0. Осталось разобраться с делимостью на 11.
Признак делимости на 11 звучит так: число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой всех его цифр, стоящих на нечётных по порядку слева направо местах и суммой его цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11. Оценим значение S суммы цифр искомого числа, стоящих на нечётных местах: оно не меньше и не больше Следовательно, разность между суммой всех цифр числа, стоящих на нечётных местах и суммой его цифр, стоящих на чётных местах, равная является нечётным числом из интервала от −15 до 25, делящимся на 11.
Таких чисел всего два: −11 и 11, для них S соответственно, равна 17 и 28. Легко убедиться, что для S = 17 есть только два варианта и Соображения максимальности дают для них число 79483625140.
Для S = 28 будем выписывать по порядку максимально возможные цифры слева направо, пока это возможно с соблюдением условия, что сумма цифр на местах с нечѐтными номерами может быть равна в итоге 28, а сумма цифр на местах с чётными номерами — 17. Получится 98765, далее сумма оставшихся двух цифр на шестом и восьмом местах должна равняться 3, что возможно только, если они равны 1 и 2, откуда и получается число в ответе. Оно больше, чем ранее найденное 79483625140 для S = 17. Если бы можно было найти большее число, для него было бы S = 28 и шестая слева цифра была бы больше 2, что, как мы поняли, невозможно.
Ответ: 9876524130.
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Верное решение, ответ выписан, а потом полным перебором доказана максимальность.
7
Найдены возможные значения.
2
Если ответ угадан и проверена делимость.
1
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.
Можно ли представить число 2017 в виде суммы двух натуральных чисел, сумма цифр одного из которых вдвое больше суммы цифр другого?
Решение.
Предположим противное, что 2017 можно представить как сумму натуральных чисел А и В, причём сумма цифр А вдвое больше суммы цифр В. При сложении двух цифр одного разряда в нём остаётся их сумма, если она меньше 10, либо их сумма минус 10, если она больше 10, а единица уходит в следующий разряд. Таким образом, сумма цифр равна сумме цифр А плюс сумма цифр В минус число переходов единицы в следующий разряд при сложении, умноженное на 9. По условию, сумма цифр А вдвое больше суммы цифр В, поэтому их общая сумма делится на 3, значит, и сумма цифр должна делиться на 3 — противоречие с тем, что сумма цифр числа 2017 равна 10.
Ответ: Нельзя.
Критерии проверки:
Критерии оценивания выполнения задания
Баллы
Верное решение.
7
Замечено, что сумма цифр равна сумме цифр А плюс сумма цифр В минус число переходов единицы в следующий разряд при сложении, умноженного на 9.
3
Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев.
Докажите, что для любого натурального числа n существует натуральное число N, делящееся нацело на n, сумма цифр которого равна n.
Решение.
Рассмотрим числа вида а именно: Среди этих чисел выберем n чисел, имеющих одинаковые остатки от деления на n (это можно сделать, поскольку чисел вида бесконечно много, а остатков от деления на n ровно n). В качестве искомого N возьмем сумму этих n чисел. Утверждение доказано.
Если из натурального числа n вычесть сумму его цифр, то получится 2016. Найдите сумму всех таких натуральных
Решение.
Сумма цифр быстро уменьшается, поэтому число n может быть только четырехзначным. Сумма цифр четырехзначного числа не превосходит 36, следовательно, то есть первые две цифры 2 и 0. Тогда
отсюда а y — любое. Сложив все числа от 2020 до 2029 получим ответ.
Пусть — целое четырехзначное десятичное число, записанное цифрами a, b, c, d такими, что Y — число, записанное теме же цифрами в обратном порядке. Может ли число иметь сумму цифр 16?
Решение.
Разность — 4-значное число, оно имеет вид отсюда
Складывая, получаем 18.
Ответ: нет.
Критерии проверки:
Каждая задача оценивается по 10-балльной шкале и снабжается отметкой в работе 0, −, ∓, ±, +
в соответствии с критериями.
Вид погрешности или ошибки
Отметка в работе
Баллы
Решение задачи верное, выбран рациональный путь решения
+
10
Решение верное, но путь не рационален или имеются один — три недочета или негрубая ошибка
+
9
Решение верное, но путь не рационален и имеются один — три недочета или негрубая ошибка
±
7−8
Ход решения верный, но есть несколько негрубых ошибок или решение не завершено
∓
5−6
Допущены грубые ошибки, но ответ получен (неверный)
∓
3−4
Допущены грубые ошибки и ответ не получен либо решение лишь начато, то что начато — без ошибок
−
2
Решение начато, но продвижение ничего не дает для результата
Негрубые ошибки: технические ошибки в применении формул и теорем, не влияющие на смысл решения; необоснованность логических (верных) выводов.
Грубые ошибки:
I. Логические, приводящие к неверному заключению.
II. Арифметические ошибки, искажающие смысл ответа.
III. Неверный чертеж в геометрических задачах.
IV. Принципиальные ошибки в применении элементарных формул и теорем.
Если сложить цифры некоторого двузначного числа, то получится 13, а если в нем переставить цифры в обратном порядке и из полученного числа вычесть первое число, то получится 27. Найдите это двузначное число.
Решение.
Пусть xy — искомое число, тогда Переставим цифры местами, получим число По условию
Из условия известно, что то есть Таким образом,
Известно, что ни одна цифра трехзначного числа не равна нулю и сумма всевозможных двузначных чисел, составленных из цифр этого числа, равна этому числу. Найдите наибольшее такое трехзначное число.
Решение.
Если имеются одинаковые цифры, то сумма трех двузначных чисел меньше 300 . Если цифры различны, то
Сумма цифр дает такой же остаток при делении на 9, что и само число. Поэтому делится на 9, следовательно, не превосходит 18. Тогда Значит, 396 подходит.
Пусть S(n) означает сумму цифр натурального числа n. Докажите, что существует бесконечное множество натуральных чисел n, не заканчивающихся на 0, таких, что
Последовательность an задана следующим образом: при всех n, где s(a) означает сумму цифр натурального числа а. Найдите a100.
Решение.
Основной используемый факт — это то, что сумма цифр любого числа имеет тот же остаток при делении на 9, что и само число. Этот факт доказывается точно так же, как известный признак деления на 9. Покажем, что последовательность an быстро убывает, пока не станет меньше 10, и после этого она, очевидно, становится постоянной. Действительно, если число n-значное, то а
при (последнее неравенство легко доказать по индукции). Начальное число меньше, чем 101024, так как Значит,
то есть a9 имеет не более трех цифр. Поэтому и, очевидно, Осталось найти остаток от деления 22015 на 9. Поскольку 23 имеет вид (то есть имеет остаток 8 при делении на 9 то и тоже имеет такой вид (как произведение нечетного числа сомножителей вида а
Четырехзначное число называется идеальным, если a + b = c + d. Сколько существует идеальных чисел представимых в виде суммы двух четырехзначных палиндромов?
Решение.
Пусть число тогда
Из признака делимости на 11 следует Так как число идеальное, то получаем и следовательно, исходное число палиндром, причем первая цифра не равна 1 (иначе оно не представляется в виде суммы двух четырехзначных чисел). Все четырехзначные палиндромы задаются первыми двумя цифрами, причем первая цифра может быть выбрана 8 способами, а вторая 10. В итоге получаем, что таких чисел всего Осталось заметить, что каждое полученное число можно представить в виде
При каких натуральных n для всякого натурального найдется число с суммой цифр k, кратное n?
Решение.
Заметим, что n, кратное трем, нам не подойдет, поскольку при мы получим, что число с суммой цифр, не кратной 3, будет делиться на 3. Покажем, что все остальные числа нам подойдут.
Рассмотрим случай, когда n не кратно двум, трем и пяти. Так как n взаимно просто с 9, то найдется такое, что Тогда
Существует такое d, что Действительно, среди остатков чисел 10, 102, 103, ..., 10n по модулю n должны быть два одинаковых (поскольку всего ненулевой остаток). Пусть это остатки степеней 10a и 10b тогда так как 10 и n взаимно просты. (По теореме Эйлера то есть в качестве d может быть выбрано число всех чисел от 1 до n, взаимно простых с n.) Значит,
при этом несложно заметить, что сумма цифр числа N равна k.
Осталось рассмотреть случай, когда где n0 не кратно двум, трем и пяти. В этом случае мы уже умеем строить число N0 с суммой цифр k, кратное n0. Тогда по-прежнему будет иметь сумму цифр k, но теперь уже будет кратно n.
Ответ: при всех натуральных n, не кратных трем.
Ответ: при всех натуральных n, не кратных трем.
Какую минимальную сумму цифр в десятичной записи может иметь число где n пробегает все натуральные числа?
Решение.
При n = 8 число f(n) равно 1001, следовательно, сумма его цифр равна двум. Если бы f(n) при некотором n имело сумму цифр, равную единице, то оно бы имело вид 100,„00 и либо равнялось бы единице, либо делилось бы на десять. Функция действительного переменного f(x) достигает минимума при следовательно, возрастает при всех натуральных значениях x. Поэтому и значение 1 f(n) принимать не может. Далее, легко заметить что f(n) всегда является числом нечётным, поэтому не может делиться на десять. Следовательно, минимальная сумма цифр числа равна 2 и достигается при
Ответ: 2.
Критерии проверки:
Верный ответ с проверкой при n = 8 — 2 балла.
Доказано, что и значение единицы f(n) принимать не может — 2 балла.
Доказано, что f(n) всегда является числом нечётным, поэтому не может делиться на 10 — 3 балла.
Найти все ненулевые числа, в пять раз меньшие суммы всех своих цифр.
Решение.
Раз речь идет о сумме всех цифр, то искомые числа записываются конечными десятичными дробями. Обозначим произвольное искомое число за x, а сумму его цифр за S(x) тогда ... и значит, x содержит не более одной цифры после запятой. Если содержит не меньше двух цифр до запятой, то и равенство невозможно. Остался случай тогда ..., откуда значит, и
Ответ: 1,8 (одна целая восемь десятых).
Критерии проверки:
Замечено, что искомые числа записываются конечными десятичными дробями: 1 балл. Доказано, что x содержит не более одной цифры после запятой: 2 балла. Доказано, что x содержит не более одной цифры до запятой: 2 балла. Отыскание x в случае 2 балла. Только угадан верный ответ с проверкой: 1 балл.
Представить число 1000 в виде суммы максимально возможного количества натуральных чисел, суммы цифр которых попарно различны.
Решение.
Заметим, что минимальное натуральное число с суммой цифр А равно где первая цифра — остаток, а количество девяток в записи неполное частное от деления А на 9. Отсюда следует что, если А меньше В то и минимальное число с суммой цифр А меньше, чем минимальное число с суммой цифр В. Рассмотрим наименьшие натуральные числа с суммами цифр они равны соответственно Сумма первых 19 из них равна 775 , а остаток от деления её на 9 равен 1. как и остаток от деления 1000 на 9. Увеличим эту сумму на 225 , взяв вместо 9 число 234 с той же суммой цифр и получим представление 1000 в виде суммы 19 чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 234 с различными суммами цифр от 1 до 19. Предположим, что 1000 можно представить в виде суммы натуральных чисел с различными суммами цифр В таком случае, и, следовательно, Значит,
Найти все натуральные числа N такие, что где p(N) — произведение всех цифр в десятичной записи N, а s(N) — сумма всех цифр в десятичной записи N.
Решение.
Пусть — десятичная запись -значного числа N, очевидно, N не менее, чем двузначно, поэтому По условию
Ввиду того, что отсюда следует, что
Перепишем это в виде Если среди цифр N нет нулей, последнее неравенство при невозможно, поэтому Тогда
a — любое, получаем серию ответов Если одна из цифр N равна нулю, то
что невозможно при Значит, этот случай новых ответов не прибавляет.
Ответ: 19, 29,..., 99.
Критерии проверки:
Только приведены все ответы: 2 балла. Только приведён какой-то ответ: 1 балл. Проверка ответов, полученных как в решении не обязательна.
(всего 9 девяток) в виде суммы двух чисел В и С, суммы цифр которых одинаковы. Если при сложении цифр последних разрядов В и С происходит переход единицы в предыдущий разряд, то последняя цифра суммы не превосходит 8. Но в последнем разряде А стоит девятка, поэтому перехода единицы не происходит и сумма цифр последних разрядов В и С равна 9. Аналогично, рассуждая слева направо для оставшихся разрядов, видим, что в каждом разряде В и С сумма цифр равна 9 и перехода единицы не происходит. При этом мы считаем, что в первом разряде одного из них стоит 0. Тогда сумма цифр В плюс сумма цифр С, равная удвоенной сумме цифр В, должна равняться сумме цифр А, то есть 91 — нечётному числу. Противоречие.
?
тогда 
сумма цифр равна 1 — минимально возможная.
и не больше 
Следовательно, разность между суммой всех цифр числа, стоящих на нечётных местах и суммой его цифр, стоящих на чётных местах, равная 
является нечётным числом из интервала от −15 до 25, делящимся на 11. 
и 
Соображения максимальности дают для них число 79483625140.
должна делиться на 3 — противоречие с тем, что сумма цифр числа 2017 равна 10.
а именно: 
Среди этих чисел выберем n чисел, имеющих одинаковые остатки от деления на n (это можно сделать, поскольку чисел вида 
бесконечно много, а остатков от деления на n ровно n). В качестве искомого N возьмем сумму этих n чисел. Утверждение доказано.
то есть первые две цифры 2 и 0. Тогда 
а y — любое. Сложив все числа от 2020 до 2029 получим ответ.
Если 
то 
Если 
то 
год рождения 1989.
откуда 
— целое четырехзначное десятичное число, записанное цифрами a, b, c, d такими, что 
Y — число, записанное теме же цифрами в обратном порядке. Может ли число 
иметь сумму цифр 16?
отсюда 
Переставим цифры местами, получим число 
По условию 
то есть 
Таким образом, 
Следовательно, 
Искомое число 58. 
делится на 9, следовательно, не превосходит 18. Тогда 
Значит, 396 подходит.
то есть 
тогда 
и
при всех n, где s(a) означает сумму цифр натурального числа а. Найдите a100.
а 
(последнее неравенство легко доказать по индукции). Начальное число 
меньше, чем 101024, так как 
Значит, 
и, очевидно, 
Осталось найти остаток от деления 22015 на 9. Поскольку 23 имеет вид 
(то есть имеет остаток 8 при делении на 9
то и 
тоже имеет такой вид (как произведение нечетного числа сомножителей вида 
а 
называется идеальным, если a + b = c + d. Сколько существует идеальных чисел представимых в виде суммы двух четырехзначных палиндромов?
тогда 
Так как число 
идеальное, то получаем 
и 
следовательно, исходное число палиндром, причем первая цифра не равна 1 (иначе оно не представляется в виде суммы двух четырехзначных чисел). Все четырехзначные палиндромы задаются первыми двумя цифрами, причем первая цифра может быть выбрана 8 способами, а вторая 10. В итоге получаем, что таких чисел всего 
Осталось заметить, что каждое полученное число можно представить в виде 
найдется число с суммой цифр k, кратное n?
мы получим, что число с суммой цифр, не кратной 3, будет делиться на 3. Покажем, что все остальные числа нам подойдут.
такое, что 
Тогда 
Действительно, среди остатков чисел 10, 102, 103, ..., 10n по модулю n должны быть два одинаковых (поскольку всего 
ненулевой остаток). Пусть это остатки степеней 10a и 10b 
тогда 
так как 10 и n взаимно просты. (По теореме Эйлера 
то есть в качестве d может быть выбрано число 
всех чисел от 1 до n, взаимно простых с n.) Значит, 
где n0 не кратно двум, трем и пяти. В этом случае мы уже умеем строить число N0 с суммой цифр k, кратное n0. Тогда 
по-прежнему будет иметь сумму цифр k, но теперь уже будет кратно n. 
где n пробегает все натуральные числа?
следовательно, возрастает при всех натуральных значениях x. Поэтому 
и значение 1 f(n) принимать не может. Далее, легко заметить что f(n) всегда является числом нечётным, поэтому не может делиться на десять. Следовательно, минимальная сумма цифр числа 
равна 2 и достигается при 
и значение единицы f(n) принимать не может — 2 балла. 
значит, x содержит не более одной цифры после запятой. Если 
содержит не меньше двух цифр до запятой, то 
и равенство невозможно. Остался случай 
тогда ..., откуда 
значит, 
и 
2 балла. Только угадан верный ответ с проверкой: 1 балл.
если нечетно, то 
где первая цифра — остаток, а количество девяток в записи неполное частное от деления А на 9. Отсюда следует что, если А меньше В то и минимальное число с суммой цифр А меньше, чем минимальное число с суммой цифр В. Рассмотрим наименьшие натуральные числа с суммами цифр 
они равны соответственно 
Сумма первых 19 из них равна 775 , а остаток от деления её на 9 равен 1. как и остаток от деления 1000 на 9. Увеличим эту сумму на 225 , взяв вместо 9 число 234 с той же суммой цифр и получим представление 1000 в виде суммы 19 чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 234 с различными суммами цифр от 1 до 19. Предположим, что 1000 можно представить в виде суммы 
натуральных чисел 
с различными суммами цифр 
В таком случае, 
и, следовательно, 
Значит, 
где p(N) — произведение всех цифр в десятичной записи N, а s(N) — сумма всех цифр в десятичной записи N.
— десятичная запись 
-значного числа N, очевидно, N не менее, чем двузначно, поэтому 
По условию 
отсюда следует, что 
Если среди цифр N нет нулей, последнее неравенство при 
невозможно, поэтому 
Тогда 
Если одна из цифр N равна нулю, то 